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《函数的最大(小)值与导数》教学设计

(编辑:佚名 日期:2017/7/14)

《函数的最大(小)值与导数》教学设计


1、 知识与技能
(1)理解闭区间上函数存在最值的定理和函数的极值和最值的区别与联系;
(2)掌握用导数求函数在[a,b]上的最值的方法。
2、过程与方法
结合学生已学知识,理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法,尝试分类
讨论的数学思想。
3、 情感态度价值观
通过教学活动,培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养;通过引导探究,开发学生的学习潜能,逐步培养学生养成运用数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯。
教学重难点
教学重点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法。
教学难点:函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系;求最值的方法。
教学准备
1.学生的学习准备:复习1.3.1和1.3.2两节内容,预习1.3.3内容。
2.教师的教学准备:教学内容的合理设计,多媒体课件制作。
3.教学方法与手段:启发引导,合作探究,利用计算机多媒体辅助教学。
教学过程
导入过程
一.复习引入、预习检查、总结疑惑
1.师提问:单调性与导数;极值的求解步骤
生:回答问题
设计意图:温故而知新,为最值的导入作铺垫。
2.检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。
教学步骤
(重难点突破的过程、巩固方法)
函数的最大(小)值与导数教学设计一.复习引入、预习检查、总结疑惑
二.新课讲授
问题探究
(师:PPT课件展示,引导学生观察图象,提出问题;生:通过观察与比较发现规律,回答问题)
(用问题串的形式让学生体会从特殊到一般的过程,提高自身归纳总结的能力)
【问题3】函数的极大值和极小值是否就是函数的最大值与最小值?
【探 究】变化图象端点函数值的大小,观察最值的变化。
“最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的;而“极值”是个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的;
⑵函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个;
⑶最值可以在区间的端点处取得,而极值只能在定义域内部取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.
三.典例分析
例2. 求函数f(x)=x3-2x2+1在区间[-1,2]上的最大值与最小值.
解:  f′(x)=3x2-4x.
令f′(x)=0,有3x2-4x=0,解得x=0,34.
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x
-1
(-1,0)
0
34
34
,24
2
f′(x)
 

0

0

 
f(x)
-2
 函数的最大(小)值与导数教学设计
1
 函数的最大(小)值与导数教学设计
 
-275
 函数的最大(小)值与导数教学设计
1
从上表可知,最大值是1,最小值是-2.
点评:注意比较求函数最值与求函数极值的不同.
变式1:
求函数f(x)=x3-2x2+1+2x在区间[-1,2]上的最值.
提示:导函数函数值恒大于零,原函数单调递增。
变式2:
已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
解:令f′(x)=3x2-2 a x=0,解得x1=0,x2=32a.
当32a≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,从而f(x)max=f(2)=8-4a.
当32a≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而f(x)max=f(0)=0.
当0<</font>32a<2,即0<</font>a<3时,f(x)在32a上单调递减,在,22a上单调递增.
从而f(x)max=2(0),
 函数的最大(小)值与导数教学设计
 
点评:让学生尝试分类讨论思想的应用
思考题:知f(x)=ax3-6ax2+b,问是否存在实数a,b,使f(x)在[-1,2]上取最大值3,最小值-29?若存在,求出a,b的值,若不存在,说明理由.
解:存在.
显然a≠0,f′(x)=3ax2-12ax.
令f′(x)=0,得x=0或x=4(舍去).
(1)当a>0时,x变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表:
x
(-1,0)
0
(0,2)
f′(x)

0

f(x)
函数的最大(小)值与导数教学设计
b
函数的最大(小)值与导数教学设计函数的最大(小)值与导数教学设计
 
所以当x=0时,f(x)取最大值,
所以f(0)=b=3.
又f(2)=3-16a,f(-1)=3-7a,
f(-1)>f(2),
所以当x=2时,f(x)取最小值,
即f(2)=3-16a=-29,
所以a=2.
(2)当a<0时,x变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表:
x
(-1,0)
0
(0,2)
f′(x)

0

f(x)
函数的最大(小)值与导数教学设计
b
函数的最大(小)值与导数教学设计
 
所以当x=0时,f(x)取最小值,所以f(0)=b=-29.
又f(2)=-29-16a,f(-1)=-29-7a,
f(2)>f(-1),所以当x=2时,f(x)取最大值,
即-16a-29=3,所以a=-2.
综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
点评:本题与学生一起分析思路,然后让学生课后讨论完成。
四.回顾总结
1、函数最值与极值的区别与联系
2、求函数最值的步骤
通过总结让学生对本节课所学的数学知识、数学方法有一个整体的把握。
五.布置作业
巩固训练P15—16
 
板书设计
1.3.3函数的最大(小)值与导数
利用导数求函数的最值步骤   例一     例二     思考题
                                    变式一
                                    变式二



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