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八年级数学下册第六章平行四边形3三角形的中位线三角形中位线定理知识讲解及例题演练(新版)北师大版

2019-06-22 作者:

三角形中位线定理

【学习目标】

1. 理解三角形的中位线的概念,掌握三角形的中位线定理.

2. 掌握中点四边形的形成规律.

【要点梳理】

要点一、三角形的中位线

1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2.定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.

要点诠释:(1)三角形有三条中位线,每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.

2)三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的,每个小三角形的面积为原三角形面积的.

3)三角形的中位线不同于三角形的中线.

要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状

顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

【典型例题】

类型一、三角形的中位线

1.如图,已知P、R分别是长方形ABCD的边BC.CD上的点,E.F分别是PA.PR的中点,点P在BC上从B向C移动,点R不动,那么下列结论成立的是(   )


  A.线段EF的长逐渐增大     B.线段EF的长逐渐变小

  C.线段EF的长不变       D.无法确定

【答案】C;

【解析】连AR,由E.F分别为PA,PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则,而AR长不变,故EF大小不变.

【总结升华】当条件中含有中点的时候,要将它与中位线联系起来,进行联想,必要时添加辅助线,构造中位线图形.

举一反三:

【变式】在△ABC中,中线BE.CF交于点O,M、N分别是BO、CO中点,则四边形MNEF是什么特殊四边形?并说明理由.

 

【答案】5;

解:四边形MNEF是平行四边形.

理由如下:∵BE.CF是中线,

∴E.F分别是AC.AB的中点,

∴EF是△ABC的中位线,

∴EF∥BC且EF=BC,

∵M、N分别是BO、CO中点,

∴MN是△OBC的中位线,

∴MN∥BC且MN=BC,

∴EF∥MN且EF=MN,

四边形MNEF是平行四边形.

2.如图,△ABC中,D.E分别是BC.AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,若BC=6,则DF的长是(  )

A.2          B.3            C.            D.4

 

【思路点拨】利用中位线定理,得到DE∥AB,根据平行线的性质,可得∠EDC=∠ABC,再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系,得到DF=DB,进而求出DF的长.

【答案解析】

解:在△ABC中,D.E分别是BC.AC的中点

∴DE∥AB

∴∠EDC=∠ABC

∵BF平分∠ABC

∴∠EDC=2∠FBD

在△BDF中,∠EDC=∠FBD+∠BFD

∴∠DBF=∠DFB

∴FD=BD=BC=×6=3.

【总结升华】三角形的中位线平行于第三边,当出现角平分线,平行线时,一般可构造等腰三角形,进而利用等腰三角形的性质解题.

3.如图所示,在△ABC中,M为BC的中点,AD为∠BAC的平分线,BD⊥AD于D,AB=12,AC=18,求MD的长.

 

【思路点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB.AC之间没有什么联系,但由M为BC的中点联想到中位线,另有AD为角平分线和垂线,根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN,D为BN的中点,DM即为中位线,不难求出MD的长度.

【答案与解析】

解:延长BD交AC于点N.

    ∵  AD为∠BAC的角平分线,且AD⊥BN,

    ∴  ∠BAD=∠NAD,∠ADB=∠ADN=90°,

在△ABD和△AND中,

 

∴  △ABD≌△AND(ASA)

    ∴  AN=AB=12,BD=DN.

    ∵  AC=18,∴  NC=AC-AN=18-12=6,

    ∵  D.M分别为BN、BC的中点,

    ∴  DM=CN=3.

【总结升华】当条件中含有中点的时候,可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来,进行联想,必要时添加辅助线,构造中位线等图形.

举一反三:

【变式】如图,BE,CF是△ABC的角平分线,AN⊥BE于N,AM⊥CF于M,求证:MN∥BC.

 

【答案】

证明:延长AN、AM分别交BC于点D.G.

∵BE为∠ABC的角平分线,BE⊥AG,

∴∠BAG=∠BGA,

∴△ABG为等腰三角形,

∴BN也为等腰三角形的中线,即AN=GN.

同理AM=DM,

∴MN为△ADG的中位线,

∴MN∥BC.

4.(1)如图1,在四边形ABCD中,E.F分别是BC.AD的中点,连接EF并延长,分别与BA.CD的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE,求证:AB=CD.(提示取BD的中点H,连接FH,HE作辅助线)

2)如图2,在△ABC中,且O是BC边的中点,D是AC边上一点,E是AD的中点,直线OE交BA的延长线于点G,若AB=DC=5,∠OEC=60°,求OE的长度.

 

【思路点拨】

1)连结BD,取DB的中点H,连结EH、FH,证明出EH∥AB,EH=AB,FH∥CD,FH=CD,证出HE=HF,进而证出AB=CD;

2)连结BD,取DB的中点H,连结EH、OH,证明出EH=OH,可证明证出△OEH是等边三角形,进而求出OE=.

【答案与解析】

1)证明:连结BD,取DB的中点H,连结EH、FH.

∵E.F分别是BC.AD的中点,

∴EH∥AB,EH=AB,FH∥CD,FH=CD,

∵∠BME=∠CNE,

∴HE=HF,

∴AB=CD;

2)解:连结BD,取DB的中点H,连结EH、OH,

∵AB=CD,

∴HO=HE,

∴∠HOE=∠HEO,

∵∠OEC=60°,

∴∠HEO=∠AGO=60°,

∴△OEH是等边三角形,

∵AB=DC=5,

∴OE=.

【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是参考题目给出的思路,作出辅助线,有一定难度.

举一反三:

【变式】如图,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,CD=3,则EF的长是(  )

A.4      B.3     C.2      D.1

 

【答案】D;

解:连接DE并延长交AB于H,

∵CD∥AB,

∴∠C=∠A,∠CDE=∠AHE,

∵E是AC中点,

∴AE=CE,

∴△DCE≌△HAE,

∴DE=HE,DC=AH,

∵F是BD中点,

∴EF是△DHB的中位线,

∴EF=BH,

∴BH=AB-AH=AB-DC=2,

∴EF=1.

 

 

 

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