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高二

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《数列极限》说课稿

北大附中     李宁

各位评委、老师们:你们好!

我是北大附中的数学教师李宁。北大附中是北京市重点中学。有机会能参加这次教学研讨活动,向全国各省的数学老师们学习,我深感荣幸。

这次我说课的内容是高中代数课本(下册)第六章第二部分6.4节数列极限的起始课。这部分内容在课本第60页至65页。

下面由我根据自己编写的教案,把我对本节课的教学目的、过程、方法、工具等方面的简单认识作一个说明。希望专家们、老师们对我说课的内容多提宝贵意见。

一、关于教学目的的确定:

众所周知,对数列极限这个概念的理解可为今后高等数学的学习奠定基础,但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难,这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习,因此,我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。

 1.在知识上,使学生理解极限的概念,能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限;

 2.在能力上,培养学生观察、分析、概括的能力和在探索问题中的,由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。体验“从具体到抽象,从特殊到一般再到特殊”的认识过程;

 3.在情感上,通过介绍我国古代数学家刘徽的成就,激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感,并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。

二、关于教学过程的设计:

为了达到以上教学目的,根据北大附中教学传统把这次课连排两节。在具体教学中,根据“循序渐进原则”,我把这次课分为三个阶段:“概念探索阶段” ;“概念建立阶段” ;“概念巩固阶段”。下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。

(一)         “概念探索阶段”

1. 这一阶段要解决的主要问题

在这一阶段的教学中,由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时,总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念,总觉得与以前知识相比,接受起来有困难,似乎这个概念是突然产生的,甚至于不明概念所云,故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题:

 ①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列,从而发现数列极限的过程;

 ②使学生形成对数列极限的初步认识;

    ③使学生了解学习数列极限概念的必要性。

    2.本阶段教学安排

 我采取温故知新、推陈出新的教学过程,分三个步骤进行教学。

①             温故知新

由于研究数列极限首先应对数列知识有一个清晰的了解,因此在具体教学中通过对教案中5个具体数列通项公式的思考让学生对数列通项公式这个概念产生回忆,指出以前研究数列都是研究的有限项的问题,现在开始研究无限项的问题。然后引导学生回忆数列是自变量为自然数的函数,通项公式就是以n为自变量的、定义域为自然数集的函数 的解析式。再引导学生回忆研究函数,实际上研究的就是自变量变化过程中,函数值变化的情况和变化的趋势,并以第[2]的数列 为例说明:当n=2、3、4、5 时,对应的  就说明自变量由2增加到5时,对应的函数值就由 减小到 这种变化情况。若问自然数n一直增加下去,函数 应怎样变化下去,这就是研究变化的趋势。

    这样利用通项公式就可把数列变化趋势问题与函数值变化趋势问题有机地结合起来,引导学生从函数值变化趋势的角度来看待例题中五个数列的变换趋势。通过这种讨论,在对变化趋势这个概念的理解上发挥心理学上所提“无意注意”的作用,使学生对进一步讨论的数列变换趋势问题不至于太陌生。

②             推陈出新

在对5个数列变化趋势的分析过程中,通过引导,由学生讨论得到数列(2)、(3)、(5)的共同特征,近而向学生说明:“具有类似于数列(2)、(3)、(5)共性的数列称为有极限的数列,共性中的“趋近于一个确定的常数”称它为有极限数列的极限”。并进一步和学生讨论如何给数列的极限下定义,此时我根据学生情况给予提示,给出数列极限概念的描述性说明:当项数无限增加时,数列的项无限趋近于某一个确定的常数的数列称为有极限的数列,这个确定的常数称为数列极限。

③             刘徽及其《割圆术》的介绍

学生对数列极限概念有了一定的认识,为了使学生认识到这个概念并不是突然产生的,是和他们已有的知识结构密切相关的,为此在第一阶段我设计了这一部分教学。

    我一方面介绍了我国古代数学家对数列极限思想所做的贡献,如“在世界数学史上,刘徽是最早运用这种数列极限的思想解决数学问题的大数学家。用这种指导思想计算圆面积的方法,就称为刘徽割圆术.用类似刘徽割圆术的方法求出圆周率的近似值,虽然在公元前3世纪的古希腊数学家阿基米德也算出过,但所用的方法却比刘徽所用的方法繁杂的多。”

    在另一方面重点结合计算机模拟刘徽割圆术,介绍这种算法的指导思想:“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”。通过课件动态演示,进一步在“无意注意”作用的发挥上下文章,加深学生对“变化趋势”、“趋近于”、“极限”等概念的认识,为下一阶段极限概念的教学提供对这个概念感性认识的基础。

(二)         “概念建立阶段”

1.     这一阶段要解决的任务

由于数列极限概念及其定义的数学语言表述具有高度的概括性、抽象性,学生初次接触很困难。具体讲,在 -N语言中,学生搞不清 的两重性——绝对的任意性、相对的确定性;学生搞不清“N”,不太理解N的实质是表示项数n无限增大过程中的某一时刻,从这一时刻起,所有an(n>N),都聚集在以极限值A为中心, 为半径的邻域中,N是否存在是证明数列极限存在的关键。

因此在这一阶段的教学中,我采取“启发式谈话法”与“启发式讲解法”, 注意不“一次到位”,这样在本阶段我设计解决的几个主要问题是:

①建立、理解数列极限的定义;

②认识定义中反映出的静与动的辨证关系;

③初步学习论证数列极限的方法。

2.     本阶段教学安排

本阶段教学安排分三个步骤进行。

①           问题的提出

在教学安排上,我根据学生形成对数列极限的初步认识,以数列

为例,提出一个学生形成极限概念时不好回答的问题:根据数列极限定义直观描述,这个数列的极限是1,即当项数n无限增大时,这个数列的项无限地趋近于1,问题是为什么不说这个数列的项无限地趋近于1.1,从而使学生发现问题在于自己已获得的数列极限概念中“无限趋近于”这一描述,这种描述比较含混,感到有必要对极限定义做进一步精确描述。

②           问题的解决

具体讲,由于数轴上两点的距离及其解析表示对学生来说是很熟悉的,故我在教学中利用数轴引导学生先得出结论:“趋近于”是距离概念,距离的解析表示是绝对值,“无限趋近于”就可用距离要多小有多小来表示。即数列项与确定常数差的绝对值要多小有多小。

 然后让学生通过具体计算如:“思考已知数列中是否有到1.1的距离为0.01的项?”使学生知道已知数列的项不能与1.1的距离要多小有多小,即1.1不是已知数列的极限,从而使学生对“要多小有多小”这一概念有了进一步认识,并为量化|an-1|当项数无限增加时要多小有多小打下基础。

 ③数列极限定义的得出

 在“检验‘1’是否满足:已知数列的项与1的差的绝对值是否要多小有多小”的教学过程中,我采取“给距离找项数”的方法。

具体讲让学生考虑已知数列中有哪些项与1的差的绝对值小于0.1、0.05、0.0011、0.0001,让学生把用计算器计算的结果在黑板上列表写出并解释所得的结果,如提示学生得出结论:“已知数列中第908项以后各项与1的差的绝对值小于0.0011。”这种讨论的目的是使学生感受到“N”是项数n 无限增大的过程中的一个标志,进而说明对于给定的每一个正数,可找到N,当n>N时,|an-1|小于这个正数。进而让学生注意无论表示距离的正数取的多么小,也不能说成“要多小有多小”,而把具体值改为 后即可解决这个问题。

     这样通过讨论,在我的引导下,使学生得到结论:“数列:

                     

当项数无限增大时,它的项越来越趋近于1”,也就是数列:

                        

的极限为1,并进一步让学生总结出一般数列的极限的准确定义。

   (三)“概念巩固阶段”  

1.       本阶段的教学计划

在这一阶段的教学中我计划做两件事情:

①说明N、 、|an-A |< 在讨论数列极限时所起的作用;

②是习题训练。

2.       本阶段的教学过程

根据上述说明,这一阶段分为两个步骤。

①            定义说明

除了对极限概念予以说明外为了加深学生对数列极限概念中N、 、|an-A |< 的认识,我让学生讨论问题“任意有极限的无穷数列能否使极限值为数列中的项”及“常数列是否有极限”,当学生有困难时,可通过举数列

                    “

并提示其根据定义考虑问题。这样使学生进一步体会由特殊到一般再到特殊的认识规律。

②            习题训练

在学生对数列极限定义的初步掌握的基础上,为巩固学生所学,我让学生作课本例1,练习这道题目的在于总结上一阶段得到数列极限的过程,同时让学生熟悉数列极限定义的应用步骤;在此基础上结合北大附中学生的特点我安排了例2,让学生作这道题目的在于通过对这道题的证明与讨论可让学生对等比数列{1,q,q2,…qn,…}收敛、发散性有一个清楚的了解。在例2的处理手法上我让学生先各抒己见,然后采用几何画板演示,验证同学猜想,从而激发学生的求知欲望。由于{1,q,q2,…qn,…}和{ }是今后学习过程中的常用数列,因此我觉得学生对例1、例2的掌握的好坏将对后面的学习产生直接影响。

③           补充说明

对于较好的班级,还可考虑用直角坐标系来代替数轴。由于数列是以自然数集子集为定义域的特殊函数,其图象是离散的点.这使得数列的项与点(n,f(n)),即点(n,an)对应起来.当数列{an}有极限A时,在直角坐标平面内的几何意义为:任给正数 ,存在一个以直线y=A+ 和y=A- 为边界的条形区域,存在一个N,当n>N时,所有的点(n, an)都落在这个条形区域内。换句话说数列的项在坐标平面内对应的点,只有有限个点落在条形区域外。利用这种方式教授这节课,形象直观,并为今后函数极限的教学打下基础。

三、关于教学用具的说明:

    这节课的教学目的之一是使学生通过对极限概念形成过程的了解,较为自然地接受极限的定义,以利于加深对概念的理解和掌握。因此在本节课中主要使用的是计算器和计算机课件演示。计算器的作用在于使学生理解 “ ”和“N”内在关系;

计算机课件演示目的有三:其一是通过史料的简单介绍对学生进行爱国主义教育;其二是在概念形成阶段,为学生提供感性认识的基础;其三可对学生所得的结论验证、完善,加深对问题的理解,巩固所学的概念。总之“恰当使用现代化教学手段,充分发挥其快捷、生动、形象的辅助作用,最大限度地使学生获得并掌握所学的知识,”是我选择和使用教学用具的根据。

    四、结束语:

总之,作为极限概念这部分的教学,应使学生初步体会到极限思想是从有限中认识无限,从近似中认识精确,从量变中认识质变的一种数学思想。充分发挥学生主体意识,在老师引导下自主地获得知识。体验数学概念形成的过程。

以上是我作为一名年轻教师对本节课的设想,一定有很多不足之处,请在座的专家、老师们多多批评、指正,谢谢。

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